PROMETHEE I method application for identification of the best alternative/PROMETHEE I metodo taikymas geriausiai alternatyvai nustatyti.

Podvezko, Valentinas ; Podviezko, Askoldas

1. Ivadas

Priimant sprendima, is keliu pasiulytu variantu--galimu veiklos alternatyvu--reikia pasirinkti geriausia. Tai gali buti geriausio technologinio arba investicinio projekto pasirinkimas, imoniu finansines, komercines veiklos, strateginio potencialo lyginimas, salies regionu ir atskiru saliu pletros vertinimas ir daug panasiu uzdaviniu. Ne vieno is ju neimanoma isreiksti vienu dydziu, rodikliu, nes sunku rasti tokia jo savybe, kuri integruotu visus esminius reiskinio aspektus.

Pastaruoju metu socialiniu bei ekonominiu reiskiniu ir sudetingu procesu kiekybiniam vertinimui vis placiau taikomi daugiakriteriniai metodai (Hwang, Yoon 1981; Figueira et al. 2005; Zavadskas, Kaklauskas 2007; Ginevicius 2006; Ginevicius et al. 2006; Ginevicius, Podvezko 2008a, b; Podvezko 2006, 2008). Pasiulyta paciu ivairiausiu budu, kaip susieti nagrinejamo reiskinio dalinius rodiklius i apibendrinamaji--sukurta daug skirtingu daugiakriteriniu metodu, vertinanciu sudetingus procesus.

Siu metodu pagrinda sudaro rodikliu, apibudinanciu lyginamus objektus (alternatyvas) [A.sub.j] (j = 1, 2, ..., n), statistiniai duomenys arba ekspertu vertinimai ir rodikliu reiksmingumai (svoriai) [[omega].sub.i] (i = 1, 2, ..., m), cia m--rodikliu skaicius, n--lyginamu objektu (alternatyvu) skaicius. Vertinimo tikslas--taikant kiekybinius daugiakriterinius metodus, ranguoti lyginamus objektus [A.sub.j] siekiamo tikslo atzvilgiu.

Tarp kiekybiniu daugiakriteriniu metodu issiskiria metodai, pagristi gilesne vidine logika, naudojantis vadinamosiomis prioritetiskumo funkcijomis. Pasirenkant sias funkcijas ir ju parametras aktyviai dalyvauja priimantis sprendima asmuo. Prie siu metodu priskiriami ir PROMETHEE metodai. Is ju istoriskai pirmasis yra PROMETHEE I metodas, kuriame atsispindi visu PROMETHEE metodu logika.

PROMETHEE metodai pasaulyje zinomi ir placiai taikomi. PROMETHEE metodu bibliografija ispudinga. Metodu autoriai Brans ir Mareschal (2005) cituoja 99 straipsnius ir knygas, kur nagrinejami teoriniai siu metodu klausimai ir aprasomi skirtingose srityse taikomi pavyzdziai. Behzadian et al. (2009) PROMETHEE metodu apzvalginiame straipsnyje cituoja 220 siu metodu metodologijos ir taikymo literaturos saltiniu. PROMETHEE (Preference Ranking Organisation Method for Enrichment Evaluation) metodologija buvo sekmingai pritaikyta daugelyje ivairiu sriciu--bankininkysteje, sveikatos apsaugos srityje, hidrologijoje ir vandens resursams vertinti, logistikoje ir transporto sferoje, energetikoje, pramones pletrai, zmoniu istekliu planavimui, medicinoje, chemijos uzdaviniuose, turizmo sferoje, vertinant socialinius procesus, pramones pletra ir daugelyje kitu sferu (Brans, Mareschal 2005; Behzadian et al. 2009). PROMETHEE metodai priklauso metodams, taikantiems vadinamasias prioritetiskumo funkcijas.

Lietuvoje sis metodas zinomas. Jis yra minetas mokslinese publikacijose (Mikalauskiene, Streimikiene 2008; Ustinovicius, Zavadskas 2004; Zvirblis et al. 2008; Tamosiuniene et al. 2006), taciau sie metodai Lietuvoje dar netaikyti praktiskai. VGTU zurnale "Journal of Civil Engineering and Management" buvo paskelbtas lenku mokslininko M. Nowak (2005) straipsnis, kuriame pritaikytas PROMETHEE II metodas vertinant investicinius projektus.

Sio straipsnio tikslas--isaiskinti PROMETHEE metodo logika ir algoritma, padeti norintiems taikyti PROMETHEE metoda Lietuvoje parodyti metodo taikymo galimybe praktikoje, jo skaiciavimo schema. Pagrindinis tikslas--metodo populiarizacija ir formavimas Lietuvoje.

2. PROMETHEE I metodo aprasas

Kaip ir kitu kiekybiniu daugiakriteriniu metodu, PROMETHEE I metodo pagrinda sudaro rodikliu, charakterizuojanciu lyginamus objektus, statistiniu duomenu (arba ekspertu vertinimu) matrica R = ||[r.sub.ij]|| rodikliu svoriai [[omega].sub.i], i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, cia m--rodikliu skaicius, n--lyginamu objektu (alternatyvu) skaicius. Taikant kiekybinius daugiakriterinius vertinimo metodus nustatoma, kokio pavidalo--maksimizuojamo arba minimizuojamo--yra kiekvienas rodiklis. Maksimizuojamuju rodikliu geriausios reiksmes--didziausios, minimizuojamuju--geriausios reiksmes maziausios. Kiekybiniu daugiakriteriniu metodu kriterijai dazniausia sujungia rodikliu bedimenses (normalizuotas) reiksmes [[??].sub.ij] rodikliu svorius [[omega].sub.i].

PROMETHEE I (dalinio klasifikavimo) ir PROMETHEE II (pilno klasifikavimo) metodus pasiule belgu mokslininkas Jean-Pierre Brans (1982), o veliau kartu su B. Mareschal sukure PROMETHEE III (klasifikavimas pagal intervalus), PROMETHEE IV (tolydinis atvejis), PROMETHEE V (keliu alternatyvu pasirinkimas esant apribojimams), PROMETHEE VI (kriteriju jautrumo nustatymas, zmogaus smegenu darbo modeliavimas) ir metodu vizualini moduli GAIA (Brans, Mareschal 1992, 1994, 1996, 2005).

PROMETHEE I metodo logika skiriasi nuo kitu kiekybiniu daugiakriteriniu metodu. Sprendima priimantis asmuo (SPA) aktyviai dalyvauja uzdavinio pasiruosimo ir sprendimo etape. SPA isskiria metodo vertinimo sprendimo priemimo prioritetus--nustato kiekvieno [R.sub.i] rodiklio (kriterijaus) ribinius (didziausius ir maziausius) leistinus skirtumus. Tokiu atveju alternatyvos [A.sub.j] ir [A.sub.k] yra identiskos (indifference) [R.sub.i] rodiklio atzvilgiu, jei rodiklio reiksmiu [r.sub.ij] ir [r.sub.ik] skirtumas [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) = [r.sub.ij] - [r.sub.ik] yra mazesnis uz nustatyta maziausia ribine reiksme q ir alternatyva [A.sub.j] turi prioriteta (preference) palyginti su alternatyva [A.sub.k] ([R.sub.i] rodiklio atzvilgiu), jei rodiklio reiksmiu [r.sub.ij] ir [r.sub.ik] skirtumas [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) = [r.sub.ij] - [r.sub.ik] yra didesnis uz nustatyta didziausia ribine reiksme s ( i = 1, 2, ..., m; j, k = 1, 2, ..., n, cia m--taikomu rodikliu skaicius, n--lyginamu objektu (alternatyvu) skaicius. Taip pat SPA kiekvienam rodikliui nustato konkrecia prioritetiskumo funkcija p(d) (su parametrais q ir s), kuri vertina [R.sub.i] rodiklio reiksmiu [r.sub.ij] ir [r.sub.ik] alternatyvu [A.sub.j] ir [A.sub.k] skirtumo [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) laipsni. Prioritetiskumo funkcijos reiksmes kinta nuo 0 iki 1 ir rodo, kokiu lygiu alternatyva [A.sub.j] svarbesne uz alternatyva [A.sub.k] (rodiklio [R.sub.i] atzvilgiu). Jei sis skirtumas d = [d.sub.i] ([A.sub.j], [A.sub.k]), kaip mano SPA, yra nedidelis, prioritetiskumo funkcijos reiksme p(d) = 0, t. y. alternatyvos [A.sub.j] ir [A.sub.k] laikomos identiskomis [R.sub.i] rodiklio atzvilgiu (prioritetu nebuvimo atvejis); jei skirtumas [d.sub.i] ([A.sub.j], [A.sub.k]) labai didelis (grieztas), t. y. alternatyva [A.sub.j] nepalyginti reiksmingesne uz [A.sub.k] (grieztojo prioriteto atvejis) ir p(d) = 1. Galimybe itraukti i alternatyvu vertinimo kriteriju (rodikliu) palyginima, ju reiksmiu skirtumo laipsni, taikant prioritetiskumo funkcija, yra vienas is PROMETHEE I metodo pozymiu ir privalumu.

Galima pastebeti, kad PROMETHEE I metodas taiko triju daugiakriteriniu metodu idejas. AHP (Analytic Hierarchy Process) T. Saaty metodo (Saaty 1980, 2005; Ginevicius et al. 2004) taikoma visu kriteriju (rodikliu) porinio palyginimo ideja, tik vietoj vertinimo 1-3-5-7-9 skales taikomos prioritetiskumo funkcijos p(d) reiksmes. Taip pat taikoma SAW (Simple Additive Weighting) metodo rodikliu reiksmingumo (svoriu) [[omega].sub.i] ir ju normalizuotu reiksmiu sujungimo ideja (Hwand, Yoon 1981):

[S.sub.j] = [m.summation over (i=1)] [[omega].sub.i] [[??].sub.ij], (1)

tik vietoj normalizuotos reiksmes [[??].sub.ij] paimtos prioritetiskumo funkcijos p(d) reiksmes.

Taikoma ir TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution) metodo (Hwand, Yoon 1981; Ginevicius et al. 2005) visu geriausiu ir blogiausiu vertinimu palyginimo ideja. Pagrindinis PROMETHEE I metodo nuo kitu kiekybiniu daugiakriteriniu metodu skirtumas (ir sio metodo ypatingumas) tas, kad vertinimai taikomi netiesiogiai, o naudojant prioritetiskumo funkcijas.

Praktiskai naudoti uztenka sesiu tipiniu prioritetiskumo funkciju p(d) variantu (1 pav.).

Iprastas (paprasciausias) kriterijus gali buti taikomas, kada aprasomas klasikinis sprendimo priemimo teorijos atvejis su neabejotinu alternatyvu [A.sub.j] ir [A.sub.k] prioritetiskumo nebuvimo (identiskumo) atveju, t. y. p(d) = 0, kai i-tojo rodiklio skirtumas [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) [less than or equal to] 0 ir p(d) = 1, kai [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) > 0. Sprendima priimanciam asmeniui siuo atveju svarbu tik tai, kad vieno rodiklio reiksme virsija kito rodiklio, bet skirtumo dydis yra nesvarbus, pavyzdziui, ar viena kaina yra didesne uz kita, ar padideja, ar sumazeja prekiu apyvarta?

U pavidalo (antras) kriterijus skiriasi nuo iprastojo taip, kad kritine identiskumo reiksme q itraukiama i modeli: tai yra didziausias i-tojo rodiklio skirtumas [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]), kai alternatyvoms [A.sub.j] ir [A.sub.k] dar priskiriamas identiskumo santykis. Pavyzdziui, dvieju darbuotoju darbo nasumas ivertintas vienodai, jei ju skirtumas nevirsija q dydzio. Arba darbuotojo atlyginimas naujame darbe praktiskai nesiskiria nuo dabar gaunamo, jei dideja maziau nei q litu.

Naudojant V pavidalo tiesinio prioritetiskumo (trecio) kriteriju, i ivertinima itraukiama kritine prioritetiskumo reiksme s: jei i-tojo rodiklio skirtumas [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) yra didesnis uz nustatyta kritine reiksme s, tai reiskia, kad alternatyva [A.sub.j] gerokai svarbesne (turi prioriteta) uz [A.sub.k] (i-tojo rodiklio atzvilgiu) ir p(d) = 1. Kai skirtumas kinta nuo nulio iki kritines reiksmes s, prioritetiskumas dideja tiesiskai. Pavyzdziui, svarbu ne pats faktas, kad vieno darbuotojo darbo nasumas arba darbo stazas yra didesnis uz kito darbuotojo, bet yra noras itraukti i ivertinima rodiklio pokycio dalis. Sita prioritetiskumo funkcija "atsargiai" itraukia alternatyvu skirtuma i ju palyginimo vertinima. Pavyzdziui, vertintojui svarbus pastovus darbo nasumo arba algos didejimas.

Laiptinis (ketvirtas) kriterijus nustato ir identiskumo bukle q, ir griezto prioritetiskumo reiksme s: jei skirtumas [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) ne didesnis uz q, tai yra alternatyvu identiskumas (p(d) = 0); kai skirtumas didesnis uz s, alternatyva [A.sub.j] gerokai svarbesne uz [A.sub.k] ir prioritetiskumo funkcijos reiksme lygi vienam (p(d) = 1); kai skirtumas d igyja reiksme nuo q iki s, alternatyva [A.sub.j] turi silpna prioritetiskuma, palyginti su [A.sub.k], ir prioritetiskumo funkcijos reiksme lygi 0,5. Pavyzdziui, darbuotojui neidomus naujas darbas, jei atlyginimas padides maziau negu q litu, jam priimtinas variantas, kai padides daugiau negu s litu ir abejotinas variantas, kai padides nuo q iki s.

Analogiskai taikomas ir kitas (penktas) tiesinio prioritetiskumo ir identiskumo srities kriterijus, kai nustatoma identiskumo bukle q ir griezto prioritetiskumo reiksme s, tik tarp situ kritiniu reiksmiu nustatoma tiesinis priklausomybes prioritetiskumo funkcija.

Gauso kriterijus taikomas normaliai pasiskirsciusiems atsitiktiniams dydziams vertinti. Siuo atveju prioritetiskumas auga nedaug, pradedant nuo nulinio skirtumo. Bet ir su labai dideliais skirtumais [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) prioritetiskumo funkcijos p(d) reiksme tik arteja prie vieneto, neigydama sios reiksmes. Taikant Gauso kriteriju reikia apibrezti normaliojo skirstinio parametra [sigma]--vidutini kvadratini nuokrypi.

PROMETHEE I metodo vertinimo pagrinda sudaro visu poru alternatyvu [A.sub.j] ir [A.sub.k] lyginimas (kaip ir AHP metode), taikant vadinamaji rangavimo (Outranking) santyki [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]), kuris skaiciuojamas pagal formule:

[pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) = [m.summation over (i=1)] [[omega].sub.i][p.sub.t]([d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k])), (2)

[FIGURE 1 OMITTED]

cia: [[omega].sub.i]--i-tojo rodiklio [R.sub.i] svoris (reiksmingumas), [n.summation over (i=1)] [[omega].sub.i] = 1; [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k])) = [r.sub.ij] - [r.sub.ik] alternatyvu [A.sub.j] ir [A.sub.k] i-tojo rodiklio [R.sub.i] reiksmiu rij ir rik skirtumas; [p.sub.t] (d) = [p.sub.t] ([A.sub.j] , [A.sub.k])) - t-oji prioritetiskumo funkcija, pasirinktoji i-tajam rodikliui (t - vienos is sesiu 1 pav. pasirinktos i-tojo rodiklio vertinimui prioritetiskumo funkcijos numeris).

Prioritetiskumas [p.sub.t] (d) = [p.sub.t] ([d.sub.i] ([A.sub.j], [A.sub.k])) taikomas, kai i-tasis kriterijus (rodiklis) yra maksimizuojamo pavidalo. Minimizuojamuju rodikliu atveju vietoj skirtumo [d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k]) = [r.sub.ij] - [r.sub.ik] imama priesinga reiksme:

[p.sub.t](d) = [p.sub.t](-[d.sub.i]([A.sub.j], [A.sub.k])).

Skirtingai nuo AHP metodo PROMETHEE I metodas nustato ne tik [A.sub.j] alternatyvos rangavimo (Outranking) santyki [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) alternatyvos [A.sub.k] atzvilgiu, bet ir atvirksciai--[pi] ([A.sub.j], [A.sub.k]), t. y. alternatyvos [A.sub.k] rangavimo (Outranking) santyki alternatyvos [A.sub.k] atzvilgiu. Atkreipiamas demesys, kad viena is dvieju prioritetiskumo funkcijos [p.sub.t] ([d.sub.i] ([A.sub.j], [A.sub.k])) arba [p.sub.t] ([d.sub.i] ([A.sub.k], [A.sub.j])) reiksmiu bus lygi nuliui.

Kai [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) artima nuliui, [A.sub.j] alternatyva turi silpna prioriteta lyginant su [A.sub.k], kai artima vienetui, [A.sub.j] turi stipru prioriteta lyginant su [A.sub.k].

Rangavimo (Outranking) santyki [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) (1 lentele) galima interpretuoti kaip prioritetiskumo indeksa, rodanti [A.sub.j] alternatyvos pranasuma (pirmenybe) [A.sub.k] atzvilgiu. Santykis [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]), kaip rodo (2) formule, vertina visu m taikomu kriteriju (rodikliu) reiksmes, ju skirtumu itaka galutinei indekso reiksmei. Kai [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) = 0, alternatyva [A.sub.j] indiferentiska [A.sub.k] atzvilgiu, kai [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) = 1--yra jos pilnas prioritetiskumas. Kai [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) reiksme yra tarp 0 ir 1, didejant jos reiksmei dideja ir prioritetiskumo laipsnis.

Kitas PROMETHEE I metodo etapas--kiekvienos alternatyvos visu teigiamu ("iseinanciu") prioritetiskumu vertinimas--palyginimo matricos j-osios eilutes suma (paskutinis 1 lenteles stulpelis):

[F.sub.j.sup.+] = [n.summation over (k=1)] [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) (j = 1, 2, ..., n). (3)

Teigiamas rangavimo srautas rodo [A.sub.j] alternatyvos pranasuma bet kurios kitos alternatyvos atzvilgiu. Kuo didesne [F.sub.j.sup.+] reiksme, tuo geresne [A.sub.j] alternatyva.

Taip pat skaiciuojamas visu neigiamu ("ieinanciu") prioritetiskumu srautas--palyginimo matricos j-ojo stulpelio suma (paskutine 1 lenteles eilute):

[F.sub.j.sup.-] = [n.summation over (k=1)] [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) (j = 1, 2, ..., n). (4)

[F.sub.j.sup.-] rodo alternatyvos silpnybe: kuo mazesne [F.sub.j.sup.-] reiksme, tuo geresne [A.sub.j] alternatyva.

PROMETHEE I metodas, taikant "iseinancius" ir "ieinancius" vertinimus, apibrezia visu alternatyvu [A.sub.j] ir [A.sub.k] prioritetiskumo bei identiskumo santyki su pliuso ir minuso zenklu: [P.sup.+], [P.sup.-], [I.sup.+], [I.sup.-].

Su pliuso zenklu:

[A.sub.j] turi prioritetiskuma [A.sub.k] atzvilgiu, t. y. ([A.sub.j][P.sup.+][A.sub.k]), jei [F.sup.+] ([A.sub.j]) > [F.sup.+] ([A.sub.k]);

[A.sub.j] yra identiska [A.sub.k], t. y. ([A.sub.j][I.sup.+][A.sub.k]), jei Su minuso zenklu:

[A.sub.j] turi prioritetiskuma [A.sub.k] atzvilgiu, t. y. ([A.sub.j] [P.sup.-] [A.sub.k]), jei [F.sup.-]([A.sub.j]) < [F.sup.-]([A.sub.k]));

[A.sub.j] yra identiska [A.sub.k], t. y. ([A.sub.j] [I.sup.-][A.sub.k]), jei [F.sup.-]([A.sub.j]) = [F.sup.-]([A.sub.k]). Vienu laiku taikant "iseinancius" ir "ieinancius" vertinimus, galima suformuluoti bendrus alternatyvu prioritetiskumo (P), identiskumo (I) ir nepalyginamumo (U) santykius:

[A.sub.j] turi prioritetiskuma pries [A.sub.k], t. y. ([A.sub.j] P [A.sub.k]), jei yra teisingi santykiai:

([A.sub.j] [P.sup.+][A.sub.k] ir [A.sub.j] [P.sup.-][A.sub.k])

arba ([A.sub.j] [P.sup.+][A.sub.k] ir [A.sub.j] [I.sup.-][A.sub.k]),

arba ([A.sub.j] [P.sup.+][A.sub.k] ir [A.sub.j] [P.sup.-][A.sub.k]).

[A.sub.j] yra identiska [A.sub.k], t. y. ([A.sub.j] I [A.sub.k]), jei ([A.sub.j] [I.sup.+][A.sub.k] ir [A.sub.j] [I.sup.-][A.sub.k]). [A.sub.j] ir [A.sub.k] yra nepalyginamos, t. y. [A.sub.j] U [A.sub.k] , jei neveikia nei [A.sub.j] P [A.sub.k], nei [A.sub.j] I [A.sub.k].

[A.sub.j] P [A.sub.k] santykis rodo, kad [A.sub.j] alternatyva turi pirmenybe pries [A.sub.k] alternatyva; [A.sub.j] I [A.sub.k] santykis rodo, kad [A.sub.j] ir [A.sub.k] alternatyvos vienodo lygio, t. y. identiskos; [A.sub.j] U [A.sub.k] santykis rodo, kad [A.sub.j] ir [A.sub.k] alternatyvos nepalyginamos.

Alternatyvu rangavimas, taikant PROMETHEE I metoda, yra atsargus. Jis dazniausia nurodo geriausia alternatyva, taciau neranguoja visos alternatyvos. Tai nustato, pavyzdziui, PROMETHEE II metodas (kurio metodika mazai skiriasi nuo PROMETHEE I metodo).

Pritaikysime PROMETHEE I metoda realiam praktikos uzdaviniui spresti.

3. PROMETHEE I metodo taikymas

Baltijos saliu ir Lenkijos ekonomines pletros ivertinimas

Sis pavyzdys buvo issprestas (Ginevicius et al. 2005, 2006) taikant keturis kiekybinius daugiakriterinio vertinimo metodus: VS (vietu suma), SAW (Simple Additive Weighting), TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution) ir COPRAS (kompleksinio proporcingo ivertinimo metoda). Atskiru metodu vertinimai--lyginamu saliu rangavimas--ne visada sutapdavo. Todel idomu palyginti vertinimus su PROMETHEE I rezultatais, nustatant geriausia alternatyva. Kad sio metodo skaiciavimo algoritmas butu aiskesnis, sumazinsime taikomu kriteriju (rodikliu) skaiciu nuo septyniu iki penkiu ir paimsime keturiu saliu--Estijos Latvijos, Lietuvos ir Lenkijos--2003 metu statistinius duomenis (2 lentele).

Keturi rodikliai yra maksimizuojamo pavidalo, vienas (nedarbas) yra minimizuojamo pavidalo. Nagrinejamas tipinis daugiakriteriniu metodu taikymo pavyzdys: vizualiai negalima nustatyti ne vienos salies pirmenybes--atskiru rodikliu uzimtos vietos svyruoja labai placiai.

Ekspertai nustate rodikliu svorius (3 lentele).

Kiekvienam kriterijui (rodikliui) pasirinksime viena is sesiu prioritetiskumo funkciju ir nustatysime siu funkciju parametrus. Funkciju pavidalas ir parametru reiksmes turetu atitikti priimancio sprendima asmens prioritetus. Pasirinktos prioritetiskumo funkcijos ir ju parametrai duoti 4 lenteleje.

Samoningai rodikliams buvo pritaikytos visos pagrindines prioritetiskumo funkcijos (isskyrus tikimybine sesta), nors penktam ir sestam rodikliams galima butu pritaikyti kitas funkcijas.

Suskaiciuosime pagal (2) formule visus rangavimo (Outranking) santykius [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]), t. y. uzpildysime rodikliu palyginimo matrica--1 lentele (t yra vienos is penkiu prioritetiskumo funkcijos numeris, pasirinktas 4 lenteleje i-tajam rodikliui vertinti).

Pavyzdziui, rangavimo (Outranking) santykis tarp pirmosios ir antrosios alternatyvu yra lygus:

[pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) = [m.summation over (i=1)] [[omega].sub.i][p.sub.t]([d.sub.i] ([A.sub.1], [A.sub.2])) = 0,28 [P.sub.5([d.sub.1]([A.sub.1],[A.sub.2]) + 0,19 [p.sub.3]([d.sub.2]([A.sub.1],[A.sub.2])) + 0,15 [p.sub.4]([d.sub.3]([A.sub.1],[A.sub.2])) + 0,18 [p.sub.2]([d.sub.4]([A.sub.1],[A.sub.2])) + 0,20 [p.sub.1]([d.sub.5]([A.sub.1],[A.sub.2])) = 0,28 [p.sub.5](5,1 - 7,5) + 0,19 [p.sub.3](9,8 - 6,5) + 0,15 [p.sub.4](430 - 298) + 0,18 [p.sub.2](-(9,3 - 10,3)) + 0,20 [p.sub.1](0,70 - 0,55) = 0,28 [p.sub.5](-2,4) + 0,19 [p.sub.3](3,3) + 0,15 [p.sub.4](132) + 0,18 [p.sub.2](+1) + 0,20 [p.sub.1](0,15) = 0,28 x 0 + 0,19 x (3,3/7) + 0,15 x 0,5 + 0,18 x 0 + 0,20 x 1 = 0,0896 + 0,075 + 0,2 = 0,365.

Pastaba. Ketvirtas rodiklis (nedarbas) yra minimizuojamo pavidalo, todel sio rodiklio skirtumas (9,3-10,3) paimtas su priesingu zenklu (minusu).

Analogiskai rangavimo (Outranking) santykis tarp antrosios ir pirmosios alternatyvu yra lygus:

[pi]([A.sub.2], [A.sub.1]) = [m.summation over (i=1)] [[omega].sub.i][p.sub.t]([d.sub.i]([A.sub.2],[A.sub.1])) = 0,28 [p.sub.5]([d.sub.1]([A.sub.2],[A.sub.1])) + 0, 1 9 [p.sub.3] ([d.sub.2] ([A.sub.2],[A.sub.1])) + 0 , 1 5 [p.sub.4] ([d.sub.3] ([A.sub.2],[A.sub.1])) + 0, 1 8 [p.sub.2] ([d.sub.4] ([A.sub.2],[A.sub.1])) + 0,20 [p.sub.1]([d.sub.5] ([A.sub.2],[A.sub.1])) = 0,28 [p.sub.5] (2,4) + 0,19 [p.sub.3] (-3,3) + 0,15 [p.sub.4] (-132) + 0,18 [p.sub.2] (-1) + 0,20 [p.sub.1](-0,15) = 0,28 x 0,4/1,5 + 0,19 x 0 + 0,15 x 0 + 0,18 x 0 + 0,20 x 0 = 0,075.

Visu alternatyvu poru suskaiciuoti rangavimo (Outranking) santykiai duoti 5 lenteleje.

Ivertinsime visus teigiamus ("iseinancius") rangavimo (Outranking) santykius F+ ir visus neigiamus ("ieinancius") rangavimo (Outranking) santykius F- ir nustatysime visu poru alternatyvu prioritetiskumo, identiskumo ir nepalyginamumo operacijas (santykius) (6 lentele).

Kaip matome, 3-ioji alternatyva (Lietuva) turi prioriteta (2003 metais) visu alternatyvu atzvilgiu (Estijos, Latvijos ir Lenkijos). Antroje vietoje--1-oji alternatyva (Estija), kuri turi prioritetiskuma antros alternatyvos atzvilgiu (Latvija). Likusios alternatyvos poros pagal PROMETHEE I metodo vertinima nepalyginamos: pagal "pliusiniu" santykiu vertinima dominuoja vienos, pagal "minusiniu"--kitos.

Palyginimui 7 lenteleje pristatyti daugiakriteriniu metodu VS, SAW, TOPSIS ir COPRAS vertinimai.

Visi metodai rodo, kad trecioji alternatyva (Lietuva) turi geresne ekonome situacija (2003 m.) palyginti su Estija, Latvija ir Lenkija. Antroje vietoje pagal visus (isskyrus TOPSIS) metodus yra Estija. Kaip matome, PROMETHEE I metodo vertinimai vienareiksmiskai parinko geriausia alternatyva.

4. Isvados

PROMETHEE I metodas duoda galimybe nustatyti geriausia alternatyva is keliu vertinimu. Tai ypac aktualu, nes kiti kiekybiniai daugiakriteriniai metodai daznai nenustato vienareiksmiskai geriausio varianto.

PROMETHEE I metodo taikymo procese turi aktyviai dalyvauti vertinimu suinteresuotas vadovas--sprendima priimantis asmuo: jis nustato visu taikomu kriteriju (rodikliu) maziausias ir didziausias (kaip jis mano) ribines reiksmes ir pasirenka prioritetiskumo funkcijas.

PROMETHEE I metodas priklauso sudetingesniems daugiakriteriniams metodams: jis netiesiogiai sujungia taikomu kriteriju (ir ju svoriu) reiksmes, transformuoja jas prioritetiskumo funkcijomis.

Skaiciavimai rodo, kad PROMETHEE I metodo vertinimai nustato geriausia alternatyva. Sio metodo rezultatai suderinti su kitu daugiakriteriniu metodu vertinimais.

Received 5 November 2008; accepted 15 February 2009

Iteikta 2008-11-05; priimta 2009-02-15

Literatura

Behzadian, M.; Kazemzadeh, R. B.; Albadvi, A.; Aghdasi, M. 2009. PROMETHEE: A comprehensive literature review on methodologies and applications, European Journal of Operational Research (in press).

Brans, J. P. 1982. L'ingenierie de la decision; Elaboration d'instruments d'aide a la decision. La methode PROMETHEE, in Nadeau, R. and Landau, M. (Eds.). L'aide a la decision: Nature, Instruments et Perspectives d'Avenir. Quebec, Canada. Presses de l'Universite Laval, 183-213.

Brans, J.-P.; Mareschal, B. 1992. PROMETHEE-V--MCDM problems with segmentation constraints, INFOR 30(2): 85-96.

Brans, J.-P.; Mareschal, B. 1994. The PROMETHEE-GAIA decision support system for multicriteria investigations, Investigation Operativa 4(2): 107-117.

Brans, J.-P.; Mareschal, B. 1996. The PROMETHEE-VI procedure. How to differentiate hard from soft multicriteria problems, Journal of Decision Systems 4: 213-223.

Brans, J.-P.; Mareschal, B. 2005. PROMETHEE methods, in Figueira, J.; Greco, S.; Ehrgott, M. (Eds.). Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys. Springer, 163-195.

Figueira, J.; Greco, S.; Ehrgott, M. (Eds.). 2005. Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Survey. Springer.

Ginevicius, R. 2006. Daugiakriterinio vertinimo rodikliu svoriu nustatymas, remiantis ju tarpusavio saveika, Verslas: teorija ir praktika [Business: Theory and Practice] 7(1): 3-13.

Ginevicius, R.; Podvezko, V. 2008a. Daugiakriterinio vertinimo budu suderinamumas, Verslas: teorija ir praktika [Business: Theory and Practice] 9(1): 73-80.

Ginevicius, R.; Podvezko, V. 2008b. Daugiakriterinio vertinimo taikymo galimybes kiekybiniam socialiniu reiskiniu vertinimui, Verslas: teorija ir praktika [Business: Theory and Practice] 9(2): 81-87.

Ginevicius, R.; Podvezko, V.; Andruskevicius, A. 2004. Statybos sistemu technologiskumo nustatymas AHP metodu, Technological and Economic Development of Economy 10(4): 135-341.

Ginevicius, R.; Butkevicius, A.; Podvezko, V. 2005. Nauju Europos saliu ekonomines pletros daugiakriterinis ivertinimas, Verslas: teorija ir praktika [Business: Theory and Practice] 6(2): 85-93.

Ginevicius, R.; Butkevicius, A.; Podvezko, V. 2006. Complex evaluation of economic development of the Baltic States and Poland, Ekonomicky Casopis [Journal of Economics] 54(9): 918-930.

Hwang, C. L.; Yoon, K. 1981. Multiple Attribute Decision-Making Methods and Applications, A State of the Art Survey. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.

Mikalauskiene, A.; Streimikiene, D. 2008. Klimato kaitos svelninimo priemoniu parinkimas, taikant daugiakriterinius sprendimu priemimo metodus, Energetika 2(54): 62-69.

Nowak, M. 2005. Investment projects evaluation by simulation and multiple criteria decision aiding procedure, Journal of Civil Engineering and Management 11(3): 193-202.

Podvezko, V. 2006. Neapibreztumo itaka daugiakriteriniams vertinimams, Verslas: teorija ir praktika [Business: Theory and Practice] 7(2): 81-88.

Podvezko, V. 2008. Sudetingu dydziu kompleksinis vertinimas, Verslas: teorija ir praktika [Business: Theory and Practice] 9(3): 160-168.

Saaty, T. L. 1980. The Analytic Hierarchy Process. New York: M.Graw-Hill.

Saaty, T. L. 2005. The analytic hierarchy and analytic network processes for the measurement of intangible criteria and for decision-making, in Figueira, J.; Greco, S.; Ehrgott, M. (Eds.). Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art Surveys. Springer, 345-408.

Tamosiuniene, R.; Sidlauskas, S.; Trumpaite, I. 2006. Investiciniu projektu efektyvumo daugiakriterinis vertinimas, Verslas: teorija ir praktika [Business: Theory and Practice] 7(4): 203-212.

Ustinovicius, L.; Zavadskas, E. K. 2004. Statybos investiciju efektyvumo sistemotechninis ivertinimas. Vilnius: Technika.

Zvirblis, A.; Maciarinskiene, I; Buracas, A. 2008. Imoniu konkurentu potencialo vertinimo principai ir baziniai modeliai, Intelektine ekonomika 1(3): 82-92.

Zavadskas, E. K.; Kaklauskas, A. 2007. Mehrzielselektion fur Entscheidungen im Bauwesen [Multi-attribute Decisions in Construction]. Fraunhofer IRB Verlag (in German).

DOI: 10.3846/1648-0627.2009.10.84-92

Askoldas PODVIEZKO. MSc Dept of Applied Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow University (1989); University of Manchester, Manchester Business School (2005). Research interests: sampling models in economics. Business: AB bank SNORAS, Head of Department of Documentary Settlements and Guarantees. Author of 2 publications.

Valentinas Podvezko (1), Askoldas Podviezko (2)

Vilnius Gediminas Technical University, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lithuania E-mail: (1) [email protected]; (2) [email protected]

Valentinas PODVEZKO. Doctor, Professor, Dept of Mathematical Statistics, Vilnius Gediminas Technical University. Author and co-author of over 100 publications. Research interests : decision-making theory, expert systems, sampling models in economics.

Valentinas Podvezko (1), Askoldas Podviezko (2)

Vilniaus Gedimino technikos universitetas, Sauletekio al. 11, LT-10223 Vilnius, Lietuva El. pastas: (1) [email protected]; (2) [email protected]

1 lentele. Rangavimo (Outranking) santykiu [pi]([A.sub.j], [A.sub.k])
matrica

Table 1. The outranking relationships [pi]([A.sub.j], [A.sub.k]) matrix

 [A.sub.1] [A.sub.2] ...

[A.sub.1] 0 [pi]([A.sub.1], ...
 [A.sub.2])

[A.sub.1] [pi]([A.sub.2], 0
 [A.sub.1])

... ... ... 0

[A.sub.n] [pi]([A.sub.2], [pi]([A.sub.n], ...
 [A.sub.1]) [A.sub.2])

[F.sup.-] [F.sup.-.sub.1] [F.sup.-.sub.2]

 [A.sub.n] [F.sup.+]

[A.sub.1] [pi]([A.sub.1], [F.sup.+.sub.1]
 [A.sub.n])

[A.sub.1] [pi]([A.sub.2], [F.sup.+.sub.2]
 [A.sub.n])

... ... ...

[A.sub.n] 0 [F.sup.+.sub.n]

[F.sup.-] [F.sup.-.sub.n]

2 lentele. Saliu ekonomines pletros rodikliu reiksmes

Table 2. Values of the criteria reflecting economic development
of the countries

 Estija
 Veiksmo
 Rodikliai kryptis Reiksme vieta

1 Bendrojo max 5,1 3
 metinio
 vidaus
 produkto
 pokytis,
 procentais

2 Pramones max 9,8 2
 produkcijos
 metinis
 augimas,
 procentais

3 Vidutinis max 430 2
 menesinis
 darbo
 uzmokestis,
 eurais

4 Nedarbas, min 9,3 1
 procentais

5 Eksporto/ max 0,70 4
 importo
 santykis

 Latvija Lietuvi

 Rodikliai reiksme vieta reiksme vieta

1 Bendrojo 7,5 2 9,7 1
 metinio
 vidaus
 produkto
 pokytis,
 procentais

2 Pramones 6,5 4 16,1 1
 produkcijos
 metinis
 augimas,
 procentais

3 Vidutinis 298 4 306 3
 menesinis
 darbo
 uzmokestis,
 eurais

4 Nedarbas, 10,3 2 11,6 3
 procentais

5 Eksporto/ 0,55 4 0,73 2
 importo
 santykis

 Lenkijai

 Rodikliai reiksme vieta

1 Bendrojo 3,8 4
 metinio
 vidaus
 produkto
 pokytis,
 procentais

2 Pramones 8,4 3
 produkcijos
 metinis
 augimas,
 procentais

3 Vidutinis 501 1
 menesinis
 darbo
 uzmokestis,
 eurais

4 Nedarbas, 19,3 4
 procentais

5 Eksporto/ 0,79 1
 importo
 santykis

3 lentele. Saliu ekonomines veiklos rodikliu svoriai ir prioritetai
(vietos)

Table 3. Weights and priorities of the criteria describing economic
activities of the countries

Rodikliu Nr. 1 2 3 4 5

Svoriai 0,28 0,19 0,15 0,18 0,20
Vietos 1 3 5 4 2

4 lentele. Rodikliu prioritetiskumo funkcijos

Table 4. Priority functions of the indices

 Rodiklis Prioritetiskumo funkcijos

1. Bendro metinio vidaus produkto
 pokytis, procentais

 (1 rodiklis, 5 funkcija) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT
 REPRODUCIBLE IN ASCII]

2. Pramones produkcijos metinis
 augimas, procentais

 (2 rodiklis, 3 funkcija) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT
 REPRODUCIBLE IN ASCII]
3. Vidutinis menesinis darbo
 uzmokestis, eurais

 (3 rodiklis, 4 funkcija) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT
 REPRODUCIBLE IN ASCII]
4. Nedarbas, procentais

 (4 rodiklis, 2 funkcija) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT
 REPRODUCIBLE IN ASCII]
5. Eksporto/importo santykis

 (5 rodiklis, 1 funkcija) [MATHEMATICAL EXPRESSION NOT
 REPRODUCIBLE IN ASCII]

5 lentele. Visu saliu poru rangavimo (Outranking) santykiai
[pi]([A.sub.j],[A.sub.k])

Table 5. Outranking relationships of all the pairs of the
countries

 [A.sub.1] [A.sub.2] [A.sub.3]

[A.sub.1] 0 0,365 0,255
[A.sub.2] 0,075 0 0
[A.sub.3] 0,651 0,427 0
[A.sub.4] 0,275 0,402 0,350
[F.sup.-] 1,001 1,193 0,605

 [A.sub.4] [F.sup.+]

[A.sub.1] 0,218 0,838
[A.sub.2] 0,460 0,535
[A.sub.3] 0,650 1,728
[A.sub.4] 0 1,027
[F.sup.-] 1,325

6 lentele. Visu poru alternatyvu prioritetiskumo,
identiskumo ir nepalyginamumo santykiai

Table 6. Relationships of preference, indifference
and incomparability of all the pairs

 [A.sub.1] [A.sub.2]

[A.sub.1] * [A.sub.1]P[A.sub.2]
[A.sub.2] [A.sub.2]U[A.sub.1] *
[A.sub.3] [A.sub.3]P[A.sub.1] [A.sub.3]P[A.sub.2]
[A.sub.4] [A.sub.4]U[A.sub.1] [A.sub.4]U[A.sub.2]

 [A.sub.3] [A.sub.4]

[A.sub.1] [A.sub.1]U[A.sub.3] [A.sub.1]U[A.sub.4]
[A.sub.2] [A.sub.2]U[A.sub.3] [A.sub.2]U[A.sub.4]
[A.sub.3] * [A.sub.3]P[A.sub.4]
[A.sub.4] [A.sub.4]U[A.sub.3] *

7 lentele. Baltijos saliu ir Lenkijos ekonomines pletros
daugiakriterinis ivertinimas

Table 7. The multicriteria evaluation of the Baltic States and
Poland

Metodas,
reiksme,
vieta VS Vieta GV Vieta SAW

Estija 11 2 0,253 2 0,249
Latvija 16 4 0,219 3 0,231
Lietuva 10 1 0,287 1 0,307
Lenkija 13 3 0,211 4 0,213

Metodas,
reiksme,
vieta Vieta COPRAS Vieta TOPSIS Vieta

Estija 2 0,249 2 0,436 3
Latvija 3 0,231 3 0,471 2
Lietuva 1 0,307 1 0,792 1
Lenkija 4 0,213 4 0,262 4